هدف از بررسی تقارن ساده سازی کار است .
اولین موضوعی که در تقارن مطرح می شود گروه است .
گروه : مجموعه ای از اعضا که خاصیت معین در بین آنها حکم فرما باشد .
طبق تعریف : مجموعه ی عناصری که طبق قواعد معین در رابطه ی متقابل با یکدیگرند .
برای این که بتوانیم به مجموعه ای از عناصر گروه ریاضی را اطلاق کنیم بایستی 4 شرط
زیر در موردشان حکم فرما باشد:
1_ حاصل ضرب دو عضو گروه در همدیگر ( یا حاصل ضرب یک عضو در خودش ) عضو دیگری
از گروه شود .منظور از حاصل ضرب ترکیب دو عضو است نه صرفا ضرب : A+B=C
نکته :در ریاضی خاصیت تعویض پذیری وجود دارد Xy=yX اما در نظریه ی گروه قانون تعویض
پذیری عموما معتبر نیست ، البته گروه هایی هم هستند که این قانون در موردشان معتبر
است آن ها را گروه های آبلی می نامند .
2_ در گروه باید عضوی وجود داشته باشد که با سایر اعضای گروه تعویض پذیر باشد و با
ترکیب با سایر اعضای گروه آن ها را بدون تغییر بگذارد ؛ E همانی EA=AE=A……
اصل عدم قطعیت هایزنبرگ : عملگر هایی که با هم جابجا پذیر باشند آن ها به طور همزمان
قابل اندازه گیری هستند و انهایی که جابجا پذیر نباشند بطور همزمان غیر قابل اندازه گیری
هستند .
3_ قانون شرکت پذیری : A(BC) = (AB)C
4_ هر عضوی از گروه باید دارای عضو معکوس خودش باشد که حاصل ضرب عضو در معکوسش
برابر با عملگر همانی E می شود:
RR-1 = E
RS = SR= E
مثال : مجموع اعداد صحیح را در نظر بگیرید .
نکته : در مولکول ها اعمال تقارنی تشکیل گروه را می دهند .
گروه نقطه ای = مجموعه ای از اعمال تقارنی .
گروه ها ممکن است متناهی یا نامتناهی باشند .
مجموع تعداد عناصر یا عضو های یک گروه متناهی را مرتبه ی آن گروه می گویند و آن را با h
مشخص می کنند .
در هر گروه ممکن است زیر گروه هایی هم باشد که 4 شرط تشکیل گروه در آنها هم صادق
است . بین زیر گروه ها می تواند مجموعه های دیگری باشد که به آنها طبقات می گویند .
عمل تبدیل تشابه :
(x-1 AX=B(A,B باهم طبقه تشکیل میدهند
رابطه ی فوق را چنین بیان می کنیم که عنصر B تبدیل تشابه عنصر A تحت تاثیر X است و یا
A,B مزدوج یکدیگرند .
عنصر همانی E همیشه خودش یک طبقه ی مجزا است ، طبقه ای از مرطبه ی یک یعنی یک
عنصر دارد .
عضو های یک گروه که مزدوج هم باشند تشکیل طبقه می دهند .
عنصر همانی با هیچ عنصر دیگری مزدوج نیست.
مولکول ها :
در مولکول ها هم گروه متناهی داریم هم نامتناهی ،در مولکول ها اعمال تقارنی ( نه عناصر
تقارنی ) تشکیل یک گروه ریاضی را می دهند .
اعمال تقارنی : وقتی عمل تقارن روی مولکولی انجام می شود آن را به حالتی تبدیل میکند
که غیرقابل تمییز به حالت قبلی باشد،یعنی غیر قابل تشخیص با حالت قبلیش باشد، مثل
چرخش 180 درجه روی مولکول .
عنصر تقارن : یک واقعیت هندسی مثل نقطه ، محور یا صفحه است که عمل تقارن نسبت
به آن انجام می شود .
عمل تقارن با عنصر تقارن فرق میکند ولی به هم وابسته اند، وجود عناصر تقارنی را موقعی
می فهمیم که عمل تقارن انجام می شود .در مولکول ها 4 نوع عنصر تقارن می شناسیم
( این موضوع در کریستال ها فرق می کند آنها مجموعه ای از مولکول ها هستند )
انواع عناصر تقارن :
1_ صفحات تقارن : تصویر در صفحه
2_ مرکز تقارن یا مرکز وارونگی : وارونگی همه ی اتم ها نسبت به مرکز
3 _ محور چرخشی متعارف : یک یا چند چرخش حول محور
4_ محورهای چرخشی نامتعارف : اعمال یک یا چند بار عمل متناوب چرخش و انعکاس
در صفحه ی عمود بر محور چرخش.