کمک: فلسفه ی عدد نپر چیه؟

سلام
این اولین تاپیک من توی باشگاه هست
تقریبا بلد نیستم با هیچ چیز اینجا درست کار کنم !


گویا بچه های ریاضی اینجا خیلی کمن اما سوالی دارم بلکه یک نفر کمکی کرد.

فلسفه به وجود اومدن عدد نپر چیه ؟

در همین حد میدونم که عدد 2.71 تنها عددی است که اگر به عنوان پایه ی یک تابع نمایی بگذاریم مشتقش در نقطه صفر یک میشه !

اما اصلا سر در نمیارم که چرا این عدد همه جا هست:
در جواب معادله دیفرانسیل هست. کاره شیفت رو در تبدیل فوریه و لاپلاس انجام میده. در تبدیل دکارتی به قطبی هست. در توابع مثلثاتی هم هست !

این عدد چه خاصیتی داره که توابع مثلثاتی رو میشه باهاش ساخت ؟

دوستان خواهشا من رو از خماریه این عدد در بیارید

راه بهتری هست گفت:

سلام
این اولین تاپیک من توی باشگاه هست
تقریبا بلد نیستم با هیچ چیز اینجا درست کار کنم !


گویا بچه های ریاضی اینجا خیلی کمن اما سوالی دارم بلکه یک نفر کمکی کرد.

فلسفه به وجود اومدن عدد نپر چیه ؟

در همین حد میدونم که عدد 2.71 تنها عددی است که اگر به عنوان پایه ی یک تابع نمایی بگذاریم مشتقش در نقطه صفر یک میشه !

اما اصلا سر در نمیارم که چرا این عدد همه جا هست:
در جواب معادله دیفرانسیل هست. کاره شیفت رو در تبدیل فوریه و لاپلاس انجام میده. در تبدیل دکارتی به قطبی هست. در توابع مثلثاتی هم هست !

این عدد چه خاصیتی داره که توابع مثلثاتی رو میشه باهاش ساخت ؟

دوستان خواهشا من رو از خماریه این عدد در بیارید

کلیک کنید تا باز شود...

پایه لگاریتم طبیعی (~ 2.71828)، اولین بار توسط لئونارد اولر (Leonhard Euler 1707-83) یکی از باهوشترین ریاضی دانان تاریخ ریاضیات مورد استفاده قرار گرفت.


در یکی از دست خطهای اولر که ظاهرا" بین سالهای 1727 و 1728 تهیه شده است با تیتر Meditation on experiments made recently on the firing of cannon اولر از عدی بنام e صحبت می کند. هر چند او رسما" این نماد را در سال 1736 در رساله ای بنام Euler`s Mechanica معرفی میکند.

در واقع باید اعتراف کرد که اولر کاشف یا مخترع عدد e نبوده است بلکه سالها قبل فردی بنام جان ناپیر (John Napier 1550-1617) در اسکاتلند هنگامی که روی لگاریتم بررسی می کرده است بحث مربوط به پایه طبیعی لگاریتم را به میان کشیده است. فراموش نکنید که شواهد نشان میدهد حتی در قرن هشتم میلادی هندی ها با محاسبات مربوط به لگاریتم آشنایی داشته اند.

در اینکه چرا عدد ~ 2.71828 بصورت e توسط اولر نمایش داده شده است صحبت های بسیاری است. برخی e را اختصار exponential می دانند، برخی آنرا ابتدای اسم اولر (Euler) می دانند و برخی نیز میگویند چون حروف a,b,c و d در ریاضیات تا آن زمان به کررات استفاده شده بود، اولر از e برای نمایش این عدد استفاده کرد. هر دلیلی داشت به هر حال امروزه اغلب این عدد را با نام Euler می شناسند.

اولر هنگامی که روی برخی مسائل مالی در زمینه بهره مرکب در حال کار بود به عدد e علاقه پیدا کرد. در واقع او دریافت که در مباحث بهره مرکب، حد بهره به سمت عددی متناسب (یا مساوی در شرایط خاص) با عدد e میل میکند. بعنوان مثال اگر شما 1 میلیون تومان با نرخ بهره 100 درصد در سال بصورت مرکب و مداوم سرمایه گذاری کنید در پایان سال به رقمی حدود 2.71828 میلون تومان خواهید رسید.

در واقع در رابطه بهره مرکب داریم :




که در آن P مقدار نهایی سرمایه و بهره است، C مقدار اولیه سرمایه گذاری شده،r نرخ بهره، n تعداد دفعاتی است که در سال به سرمایه بهره تعلق می گیرد و t تعداد سالهایی است که سرمایه گذاری می شود.

در این رابطه اگر n به سمت بی نهایت میل کند - حالت بهره مرکب - فرمول را می توان بصورت زیر ساده کرد :




اولر همچنین برای محاسبه عدد e سری زیر را پیشنهاد داد :




لازم است ذکر شود که اولر علاقه زیادی به استفاده از نمادهای ریاضی داشت و ریاضیات امروز علاوه بر عدد e در ارتباط با مواردی مانند i در بحث اعداد مختلط، f در بحث توابع و بسیاری دیگر نمادها مدیون بدعت های اولر است .

پرکاربردترین عدد گنگی که بشر تا بحال کشف کرده عدد نپر( 2.7182 = e) است.کشف این عدد منتسب به جان نپر(John Napier) دانشمند اسکاتلندی و معرف لگاریتم است.البته اهمیت این عدد بیشتر مرهون کارهای لئونارد اویلر(Leonhard Euler) دانشمند سوییسی است.چه بسیاری نیز معتقدند انتخاب حرف e برای عدد نپر بخاطر اولین حرف از نام خانوادگی اویلر بوده است.البته عده ای نیز میگویند این حرف نخستین حرف کلمه ی نمایی(exponential) است.در واقع توابع نمایی بصورت f(x)=a^x هستند و در بین تمام اعداد حقیقی ممکنی که میتوانند بجای a قرار گیرند عدد نپر تنها عددییست که باعث میشود تابع نمایی در نقطه صفر دقیقا شیبی برابر با یک داشته باشد(مشتق تابع e^x برابر است با e^x و لذا شیب این تابع در صفر برابر است با e^0=1) عدد نپر در جاهای دیگر هم ظاهر میشود.مثلا فرض کنید در بانک مبلغ یک دلار قرار داده اید و بانک به شما 100درصد سود در سال پرداخت میکند یعنی در پایان سال شما دو دلار خواهید داشت(n=1)حال اگر بانک بجای صد در صد در سال شش ماه اول 50 درصد سود پرداخت کند(یک و نیم دلار در پایان شش ماه)و در شش ماه دوم نیز 50 درصد سود پرداخت کند(به ازای یک و نیم دلار پس انداز شما)در پایان سال 1.5+0.75=2.25 دلار خواهید داشت(n=2)اگر این بار بانک هر سه ماه یک بار به شما 25 درصد سود پرداخت کند در پایان سال مبلغ 1.25+0.3125+0.390625+0.488281=2.44141 در حساب خود خواهید داشت (n=4) اگر این روند ادامه پیدا کند یعنی بانک در تعداد دفعات بیشتری به شما سود کمتری پرداخت کند و این تعداد دفعات یعنی n به بینهایت میل کند شما در پایان سال به اندازه 2.7182 = e دلار در بانک خواهید داشت!!! همچنین اگر احتمال برنده شدن شما در یک بازی n^ -1 باشد و شما این بازی را n بار انجام دهید و n به سمت بینهایت میل کند احتمال اینکه شما هر n بازی را ببازید برابر است با e^ -1....

راه بهتری هست گفت:

سلام
این اولین تاپیک من توی باشگاه هست
تقریبا بلد نیستم با هیچ چیز اینجا درست کار کنم !


گویا بچه های ریاضی اینجا خیلی کمن اما سوالی دارم بلکه یک نفر کمکی کرد.

فلسفه به وجود اومدن عدد نپر چیه ؟

در همین حد میدونم که عدد 2.71 تنها عددی است که اگر به عنوان پایه ی یک تابع نمایی بگذاریم مشتقش در نقطه صفر یک میشه !

اما اصلا سر در نمیارم که چرا این عدد همه جا هست:
در جواب معادله دیفرانسیل هست. کاره شیفت رو در تبدیل فوریه و لاپلاس انجام میده. در تبدیل دکارتی به قطبی هست. در توابع مثلثاتی هم هست !

این عدد چه خاصیتی داره که توابع مثلثاتی رو میشه باهاش ساخت ؟

دوستان خواهشا من رو از خماریه این عدد در بیارید

کلیک کنید تا باز شود...

سلام دوست عزیز،
با تشکر از آقای پیرجو و با تشکر از کنجکاوی شما
خدمتتان عرض کنم همانطور که آقای پیرجو گفتند عدد نپر در مورد رشد ممتد است. منظور از رشد اینه که اگر یک عددی با یک سرعتی بزرگ شود و مقادیری که به آن عدد هم اضافه میشوند باز با همان سرعت رشد کنند. اما چه سرعتی؟ خوب ما می آییم یک سرعت رشد را به عنوان قرارداد حساب میکنیم و بعد از روی آن سرعت میتوانیم سرعتهای دیگر رشد را هم حساب کنیم. حالا اینکه چه سرعتی را به عنوان پایه انتخاب کنیم جای بحث دارد ولی خوشتان بیاید یا نه ریاضیدانان عدد دو را انتخاب کرده اند. خوب حالا میخواهیم حساب کنیم که اگر قرار باشد در یک زمان دلخواه عددی دو برابر شود و هر اپسیلونی هم که به این عدد اضافه میشود باز در همان زمان دلخواه دو برابر شود(سرعت رشد یکسان) آنوقت در پایان زمان دلخواه عدد ما چقدر میشود؟ اگر رشد ما به طور یکهو یکدفعه در پایان زمان دلخواه ما صورت میگرفت در پایان زمان دلخواه که آنرا با t نشان میدهیم عدد ما دو برابر میشد و در 2t چهار برایر میشد و در 3t هشت برابر میشد. اگر دفعات دوبرابر شدن را با n نشان دهیم x=2^n برابر میشد
اما اگر در خود زمان t هم رشد ادامه داشت چی میشد؟
ما میتوانیم فرمول بالا را بنویسیم x=(1+1)^n که یک اول مقدار اولیه عدد و یک دوم مقداری است که به آن اضافه میشود در نصف زمان دلخواه t ما نصف رشد را داشتیم. پس اگر به جای اینکه رشد یکهو در پایان اتفاق بیافتد دوبار یکبار در نیمه راه و یکبار در پایان اتفاق بیافتد میتوانیم بنویسیم x=(1+1/2)^2 این عدد برابر میشود با 2.25 اگر ما به جای دو بار سه بار رشد داشتیم میتوانستیم بنویسیم x=(1+1/3)^3 که میشود 2.370370370 خوب داریم به عدد نپر نزدیک میشویم!!!اگر به جای سه بار چهار بار رشد داشتیم مینوشتیم x=(1+1/4)^4 که میشود 2.44140625 اگر بینهایت بار رشد داشتیم میشد 2.718281828 این همان عدد جادویی شماست !!!پس e=lim(1+1/n)^n وقتی n به سمت بینهایت میل میکند.
دوست عزیز به شما پیشنهاد میکنم که حتما کتاب یک دو سه بینهایت نوشته جورج گاموف را بخوانید به فارسی ترجمه شده است من وقتی 17 سالم بود این کتاب را خوندم و در من یک انقلاب ایجاد کرد قسمت اولش همش در مورد ریاضی و مسائل جالب اونه. این کتاب به حدی من را شیفته علم کرد که گفتنش با کلمات سخت است. مدتی عاشق ریاضی بودم و میخواستم بروم ریاضی محض. البته هنوز هم بدم نمی آید بروم ریاضی محض بخونم. انیشتین این کتاب را خونده بوده و کلی از این کتاب تعریف کرده است که در پشت کتاب چاپ شده است!

سبز باشید!

ایرانیکا گفت:

سلام دوست عزیز،
با تشکر از آقای پیرجو و با تشکر از کنجکاوی شما
خدمتتان عرض کنم همانطور که آقای پیرجو گفتند عدد نپر در مورد رشد ممتد است. منظور از رشد اینه که اگر یک عددی با یک سرعتی بزرگ شود و مقادیری که به آن عدد هم اضافه میشوند باز با همان سرعت رشد کنند. اما چه سرعتی؟ خوب ما می آییم یک سرعت رشد را به عنوان قرارداد حساب میکنیم و بعد از روی آن سرعت میتوانیم سرعتهای دیگر رشد را هم حساب کنیم. حالا اینکه چه سرعتی را به عنوان پایه انتخاب کنیم جای بحث دارد ولی خوشتان بیاید یا نه ریاضیدانان عدد دو را انتخاب کرده اند. خوب حالا میخواهیم حساب کنیم که اگر قرار باشد در یک زمان دلخواه عددی دو برابر شود و هر اپسیلونی هم که به این عدد اضافه میشود باز در همان زمان دلخواه دو برابر شود(سرعت رشد یکسان) آنوقت در پایان زمان دلخواه عدد ما چقدر میشود؟ اگر رشد ما به طور یکهو یکدفعه در پایان زمان دلخواه ما صورت میگرفت در پایان زمان دلخواه که آنرا با t نشان میدهیم عدد ما دو برابر میشد و در 2t چهار برایر میشد و در 3t هشت برابر میشد. اگر دفعات دوبرابر شدن را با n نشان دهیم x=2^n برابر میشد
اما اگر در خود زمان t هم رشد ادامه داشت چی میشد؟
ما میتوانیم فرمول بالا را بنویسیم x=(1+1)^n که یک اول مقدار اولیه عدد و یک دوم مقداری است که به آن اضافه میشود در نصف زمان دلخواه t ما نصف رشد را داشتیم. پس اگر به جای اینکه رشد یکهو در پایان اتفاق بیافتد دوبار یکبار در نیمه راه و یکبار در پایان اتفاق بیافتد میتوانیم بنویسیم x=(1+1/2)^2 این عدد برابر میشود با 2.25 اگر ما به جای دو بار سه بار رشد داشتیم میتوانستیم بنویسیم x=(1+1/3)^3 که میشود 2.370370370 خوب داریم به عدد نپر نزدیک میشویم!!!اگر به جای سه بار چهار بار رشد داشتیم مینوشتیم x=(1+1/4)^4 که میشود 2.44140625 اگر بینهایت بار رشد داشتیم میشد 2.718281828 این همان عدد جادویی شماست !!!پس e=lim(1+1/n)^n وقتی n به سمت بینهایت میل میکند.
دوست عزیز به شما پیشنهاد میکنم که حتما کتاب یک دو سه بینهایت نوشته جورج گاموف را بخوانید به فارسی ترجمه شده است من وقتی 17 سالم بود این کتاب را خوندم و در من یک انقلاب ایجاد کرد قسمت اولش همش در مورد ریاضی و مسائل جالب اونه. این کتاب به حدی من را شیفته علم کرد که گفتنش با کلمات سخت است. مدتی عاشق ریاضی بودم و میخواستم بروم ریاضی محض. البته هنوز هم بدم نمی آید بروم ریاضی محض بخونم. انیشتین این کتاب را خونده بوده و کلی از این کتاب تعریف کرده است که در پشت کتاب چاپ شده است!

سبز باشید!

کلیک کنید تا باز شود...

سلام
خیلی حال دادید
بهترین توضیحی بود که تاحالا در مورد عدد نپر گرفتم. مرسی

فقط یک مقدار در مورد دلیل کاربردش هم میدین ؟
این که عدد نپر از کجا اومده رو عالی توضیح دادید. اما هنوز نمیدونم چرا این عدد خاص اینقدر مهمه ؟ چجوری سینوس و کوسینوس رو با عدد نپر میسازن ؟ چرا این عدد خاص کار شیفت رو در تبدیل لاپلاس و تبدیل فوریه انجام میده؟

کتابی رو هم که معرفی کردید توی همین چند روز میخرمش. خیلی منتظر همچین کتابی بودم. هنوز نخونده عاشقش شدم

راستی من تازه کارم و هنوز از طرز کار این انجمن سردر نمیارم
دکمه تشکر رو که پیدا کردم از دوستان تشکر میکنم !